2.7. Rachunek granic 2, Matematyka

2.7. Rachunek granic 2

2.7. Rachunek granic 2, Matematyka

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
2.7. Rachunek granic, 2.
Twierdzenie (
granice szczególnych funkcji
)
a)
x
lim
x
®
c
=
c
, granica funkcji stałej,
0
b)
lim
x
a
x
+
b
=
ax
0
+
b
; granica funkcji liniowej,
x
®
0
c)
lim
®
sin
kx
= k,
x
0
x
d)
lim
®
x
0
a
x
= 1, a > 0,
e)
lim
®
a
x
-
1
= ln a , a > 0 .
x
0
x
Przykład 1.
Oblicz:
sin
3
x
1
-
cos
2
x
a)
lim
®
, b)
lim
®
.
sin
4
x
sin
2
x
x
0
x
0
Rozwiązanie
a) Korzystamy z twierdzenia c). W tym celu przekształcamy następująco wzór funkcji
sin
3
x
f(x) =
sin
3
x
=
x
dla x
¹
0.
sin
4
x
sin
4
x
x
sin
3
x
lim
sin
3
x
sin
3
x
x
x
®
0
x
3
.
Mamy:
lim
®
=
lim
®
=
=
4
sin
4
x
sin
4
x
sin
4
x
x
0
x
0
lim
x
x
®
0
x
Ostatecznie
lim
®
sin
3
x
=
4
3
.
x
0
sin
4
x
sin
x
1
-
cos
2
x
sin
2
x
cos
sin
x
cos
x
b) Przekształcamy wzór funkcji: f(x) =
=
=
= x
.
sin
2
x
2
sin
x
x
2
x
2
cos
x
sin
x
sin
x
lim
sin
x
1
-
cos
2
x
x
x
x
®
0
x
Mamy
lim
®
=
lim
®
x
=
lim
®
x
×
lim
®
= 0
×
= 0.
x
0
sin
2
x
x
0
2
cos
x
x
0
x
0
2
cos
x
lim
2
cos
x
x
®
0
1
-
cos
2
x
Ostatecznie
lim
®
= 0.
x
0
sin
2
x
Przykład 2.
Oblicz:
e
2
x
-
1
5
x
-
3
x
a)
lim
®
, b)
lim
®
.
x
x
x
0
x
0
Rozwiązanie
Przekształcamy wzór funkcji i korzystamy z twierdzenia d).
e
2
x
-
1
(
e
2
)
x
-
1
a)
lim
®
=
lim
®
= ln e
2
= 2 ln e = 2.
x
0
x
x
0
x
5
x
-
3
x
(
x
-
1
-
(
x
-
1
5
x
-
1
3
x
-
1
b)
lim
®
=
lim
®
=
lim
®
(
-
=
x
0
x
x
0
x
x
0
x
x
5
x
-
1
3
x
-
1
=
lim
®
-
lim
®
= ln 5 – ln 3.
x
x
x
0
x
0
Ć
wiczenia
Zad. 1.
Oblicz:
a)
lim
®
sin
(
-
3
x
)
, b)
lim
®
sin
8
x
, c)
lim
®
sin
4
x
-
sin
6
x
, d)
lim
®
x
.
x
0
x
x
0
sin
2
x
x
0
x
x
0
tgx
Zad. 2.
Oblicz:
e
x
-
1
3
e
x
-
3
e
-
x
-
1
7
x
-
5
x
a)
lim
®
, b)
lim
®
, c)
lim
®
, d)
lim
®
.
x
x
2
x
x
x
0
x
0
x
0
x
0
Zadanie 3.
Wyznacz granicę lewostronną i prawostronną funkcji
f
w punkcie
0
x
, jeśli:
a)
f
(
x
)
=
x
4
x
-
1
,
0
x
= 2 ; b)
f
(
x
)
=
5
,
0
x
= - 3.
-
2
9
-
x
2
Zadanie 4.
Uzasadnij, Ŝe funkcja f: x
®
f(x) nie ma granicy w punkcie x
0
, gdy:
a) f(x) =
x
-
, x
0
= 3 ; b) f(x) =
x
, x
0
= 0 .
9
x
2
|
x
|
Odpowiedzi
Zad. 1.: a) -3, b) 4, c) -2, d) 1.
Zad.2.: a) 1, b) 1, c) – ½ , d) ln
5
7
.
Zad.3.: lewostronna: a) +
¥
, b) -
¥
; prawostronna: a) -
, b) +
¥
;
Zad.4.: a)
lim
x
x
-
¹
lim
x
x
-
, b)
lim
x
x
= 1,
lim
x
x
= -1. Wyprowadź stąd
9
x
2
9
x
2
|
x
|
|
x
|
®3
+
®3
-
®0
+
®0
-
odpowiednie wnioski.
¥
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Linki

: 3. Własności całki podwójnej, MATEMATYKA, CAŁKI, CAŁKI WIELOKROTNE

: 2005.RW.Beilare.Opong, Wydział Zarządzania WZ WNE UW SGH PW czyli studia Warszawa kierunki matematyczne, WNE UW