3.Uogól praw HOOKE`A, AM Gdynia, Sem. III,IV, Wytrzymałość materiałów

3.Uogól praw HOOKE`A

3.Uogól praw HOOKE`A, AM Gdynia, Sem. III,IV, Wytrzymałość materiałów - wykład

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Związki miĊdzy naprĊĪeniami i odksztaáceniami
Przyjmujemy, Īe ciaáo jest jednorodne izotropowe, podlega prawu Hooke'a oraz ulega
deformacji w zakresie maáych odksztaáceĔ, ponadto przyjmiemy:
znane są:
E
oraz
Q
.
W teorii sprĊĪystoĞci, rozpatrując bryáĊ przestrzenną dowolnie obciąĪoną wyodrĊbniamy trzy
Sáaszczyzny wzajemnie prostopadáe.
W kaĪdej z tych páaszczyzn wystąpi
jedna skáadowa normalna
naprĊĪenia i
dwie skáadowe
styczne. Stosując
zasadĊ superpozycji
, sumujemy odksztaácenia i otrzymujemy związki
miĊdzy skáadowymi stanów naprĊĪenia i odksztaácenia.
WyodrĊbnimy myĞlowo z bryáy, w której istnieje tylko naprĊĪenie normalne V
x
w kierunku osi
x
, szeĞcian o boku
ds
rys.1. NaprĊĪeniu temu odpowiadaü bĊdzie odksztaácenie w kierunku osi
x
.
V
H
x
x
E
,
oraz odksztaácenie w kierunku osi
y
i
z
V
V
x
x
H
Q
H
Q
,
H
Q
H
Q
y
x
z
x
.
E
E
z
z
ds
H
z
ds
ds
H
y
y
y
H
x
V
x
x
x
Rys. 1
Rys. 2
z
z
Ĳ
zy
J
yz
ds
Ĳ
yz
y
J
yz
y
x
x
Rys. 3
Rys. 4
z
z
V
z
H
z
J
zy
W
zy
J
zx
W
zx
J
yz
W
yz
V
y
H
y
J
xz
W
xz
y
y
J
xy
W
xy
J
yx
W
yx
H
x
V
x
x
x
Rys. 5 Skáadowe stanu odksztaácenia.
Rys. 6 Skáadowe stanu naprĊĪenia.
JeĪeli w bryle istnieją tylko naprĊĪenia styczne Ĳ
zy,
Ĳ
yz
rys. 3, to z warunku sumy momentów
wzglĊdem osi
x
otrzymujemy
W
W
2
2
W
ds
W
ds
0
, czyli
.
yz
zy
yz
zy
NaprĊĪeniom tym odpowiada odksztaácenie postaciowe
W
E
yz
J
G
yz
,gdzie
(1).
G
2
(
Q
)
W przypadku ogólnym w bryle moĪe wystąpiü jednoczeĞnie szeĞü róĪnych skáadowych
naprĊĪenia rys. 6. Odpowiadające im skáadowe odksztaácenia rys. 5 okreĞlimy na zasadzie
superpozycji, wedáug tabeli 1.
Tabela 1
z
z
z
V
z
z
z
W
zy
z
W
zx
W
xz
V
y
y
y
y
W
yz
y
W
xy
W
yx
y
y
x
x
x
V
x
x
x
x
Q
1
V
Q
H
E
V
E
V
Q
Q
Q
y
x
z
E
Q
1
V
Q
H
E
V
E
V
Q
Q
Q
x
y
z
E
1
V
Q
Q
H
E
V
E
V
Q
Q
Q
x
y
z
E
1
W
J
0
0
0
Q
Q
xy
xy
G
1
W
J
Q
0
0
0
0
yz
yz
G
1
W
J
0
0
0
0
0
zx
zx
G
Sumując poszczególne wiersze z tabeli 1, otrzymamy dla materiaáu izotropowego związki
miĊdzy skáadowymi odksztaácenia i naprĊĪenia
W
1
>
@
xy
H
V
Q
V
V
,
J
,
x
x
y
z
xy
E
G
W
1
>
@
yz
H
V
Q
V
V
,
J
,
y
y
z
x
yz
E
G
W
1
>
@
zx
H
V
Q
V
V
,
J
.
z
z
x
y
zx
E
G
Związki powyĪsze moĪemy zapisaü w postaci macierzowej
1
Q
Q
ª
º
0
0
0
«
»
E
E
E
«
»
Q
1
Q
«
»
H
V
0
0
0
ª
º
ª
º
x
x
«
»
E
E
E
«
»
«
»
H
V
«
»
»
«
»
Q
Q
1
«
y
y
«
»
0
0
0
«
»
«
»
H
V
E
E
E
«
»
z
z
«
»
«
»
J
«
»
W
1
«
»
«
»
xy
xy
0
0
0
0
0
«
»
«
»
«
»
G
J
W
«
»
«
yz
»
«
yz
»
1
«
»
«
»
«
»
J
W
0
0
0
0
0
¬
¼
¬
¼
«
»
z
J
x
z
J
x
G
«
»
1
«
»
0
0
0
0
0
¬
G
¼
İ
~
ı
lub
.
Obliczymy macierz
D
odwrotną do macierzy
~
, czyli
~
1
D
D
i wyrazimy w postaci
macierzowej naprĊĪenie w zaleĪnoĞci od odksztaácenia
ı
D
İ
,
lub
1
Q
Q
Q
0
0
0
ª
º
«
»
V
H
Q
1
Q
Q
0
0
0
ª
º
ª
º
«
»
x
x
«
»
«
»
V
H
«
Q
Q
1
Q
0
0
0
»
«
»
«
»
y
y
«
»
«
»
«
»
1
2
Q
V
H
2
G
«
»
0
0
0
0
0
z
z
«
»
«
»
«
2
»
W
J
1
2
Q
«
»
«
»
xy
xy
«
»
(2).
1
2
Q
«
»
«
»
W
0
0
0
0
0
J
«
»
»
«
yz
»
«
yz
2
«
»
«
»
«
»
W
J
¬
¼
¬
¼
«
1
2
Q
»
z
J
x
z
J
x
0
0
0
0
0
«
»
¬
2
¼
Macierz
D
nazywana jest macierzą sprĊĪystoĞci. PowyĪsze związki wyraĪają
uogólnione
prawo Hooke’a
.
Po dodaniu stronami skáadowych normalnych naprĊĪenia otrzymujemy związek miĊdzy sumą
naprĊĪHĔ normalnych s=V
xx
+V
yy
+V
zz
a sumą odksztaáceĔ liniowych e = H
xx
+ H
yy
+ H
zz
s
e
,
(3)
3
gdzie K = E/3(1- 2Q) - moduáĞciĞliwoĞci objĊtoĞciowej materiaáu sprĊĪystego.
Na podstawie ukáadu równaĔ (1) moĪna wyraziü naprĊĪenia przez odksztaácenia:
Q
e
Q
e

½

½
Q
e

½
V
2
H
V
2
H
V
2
H
,
,
,
xx
xx
yy
yy
zz
zz
1
2
Q
1
2
Q
1
2
Q
W
G J
W
G J
W
G J
,
,
xy
xy
yz
yz
zx
zx
lub w postaci macierzowej
V =
D
H
gdzie V i H dane są wzorami
V
H
ª
º
ª
º
x
x
«
»
«
»
V
H
«
»
«
»
y
y
«
»
«
»
V
H
z
z
«
»
«
»
V
H
W
J
«
»
«
»
xy
,
xy
«
»
«
»
W
J
«
»
«
»
yz
yz
«
»
«
»
W
J
¬
¼
¬
¼
z
J
x
z
J
x
a macierz
D
,
nazywana macierzą sprĊĪystoĞci ma postaü:
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Linki

: 3. rany, ratownictwo medyczne, Ratownictwo Medyczne - materiały

: 3. Farmakodynamika, medycyna zabrze SUM lekarski, FARMAKOLOGIA - PRZYDATNE MATERIAŁY, Farmakokinetyka i farmakodynamika opracowanie