3.5 - Rachunek różniczkowy 58-78, Medycyna, I Rok, Biofizyka

3.5 - Rachunek różniczkowy 58-78

3.5 - Rachunek różniczkowy 58-78, Medycyna, I Rok, Biofizyka

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
DODATEK
ELEMENTY RACHUNKU
RÓ
ś
NICZKOWEGO
ZASTOSOWANIA W FIZYCE
POCHODNA FUNKCJI
f x
(
+
h
)
-
f x
(
)
Pochodną funkcji
f(x)
nazywamy granicę, do której dąŜy iloraz
,
h
jeśli
h
dąŜy do zera.
f x
(
+
h
)
-
f x
(
)
f
' (
x
)
=
lim
h
h
®
0
Korzystając z definicji pochodnej moŜna ustalić pochodne prostych funkcji:
2
2
lim
(
x
+
h
)
-
x
1
.
f(x) = x
2
f
'(
x
)
=
h
h
®
0
Aby moŜna było określić poszukiwaną granicę trzeba pozbyć się
h
z mianownika:
2
2
2
x
+
2
hx
+
h
-
x
f
'(
x
)
=
lim
=
lim(
2
x
+
h
)
=
2
x
h
h
®
0
h
®
o
2
f x
(
)
=
x
⇒
f
' (
x
)
=
2
x
2.
f x
(
)
=
x
x
+
h
-
x
x
+
h
-
x
1
1
f
'(
x
)
=
lim
=
lim
=
lim
=
(
)
h
x
+
h
+
x
2
x
h
x
+
h
+
x
h
®
0
h
®
0
h
®
0
1
f x
(
)
=
x
⇒
f
' (
x
)
=
2
x
Wychodząc z definicji pochodnej moŜna ustalić kształt pochodnych podstawowych
funkcji,
jak
równieŜ
moŜna udowodnić podstawowe twierdzenia dotyczące
pochodnych:
2
f x
(
)
=
a
⇒
f
' (
x
)
=
o
f x
(
)
=
x
n
⇒
f
' (
x
)
=
nx
n
-
1
f x
(
)
=
sin
ax
⇒
f
' (
x
)
=
a
cos
ax
f x
(
)
=
cos
ax
⇒
f
' (
x
)
=
-
a
sin
ax
f x
(
)
=
ak x
(
)
⇒
f
' (
x
)
=
ak
'(
x
)
f x
(
)
=
k x
(
)
+
g x
(
)
⇒
f
' (
x
)
=
k
' (
x
)
+
g
' (
x
)
f x
(
)
=
k x
(
)
×
g x
(
)
⇒
f
' (
x
)
=
k
' (
x
)
×
g x
(
)
+
k x
(
)
×
g
' (
x
)
k x
g x
(
)
k
' (
x
)
×
g x
(
)
-
k x
(
)
×
g
' (
x
)
f x
(
)
=
)
; (
g x
)
¹
0
⇒
f
' (
x
)
=
[
]
2
(
g x
(
)
Pełny zestaw funkcji pochodnych oraz twierdzeń dotyczących pochodnych moŜna
znaleźć w podręcznikach matematyki.
Pochodna funkcji wyraŜa zatem granicę, do której zmierza stosunek przyrostu
wartości funkcji do odpowiadającego mu przyrostu argumentu, jeśli przyrost
argumentu maleje do zera.
D
y
x
f
' (
x
)
=
lim
D
D
x
®
o
y
W granicy, obydwa przyrosty stają się nieskończenie
małe. Pochodna funkcji wyraŜa zatem stosunek
nieskończenie małego przyrostu wartości funkcji do
odpowiadającego mu przyrostu argumentu.
dy
dx
x
dy
dx
f
'(
x
)
=
PowyŜszy zapis przedstawia istotę pochodnej i równocześnie jest symbolem
pochodnej równowaŜnym symbolowi
f’(x)
. Symbol ten jest czytany jako
dy
po
dx
.
Szereg wielkości fizycznych określa się jako stosunek dwóch nieskończenie małych
przyrostów innych wielkości fizycznych. Przyspieszenie chwilowe jest stosunkiem
nieskończenie małego przyrostu prędkości ciała do przedziału czasu, w którym ten
przyrost nastąpił.
dV
dt
a
=
3
Prędkość jest funkcją czasu, a zatem z punktu widzenia matematycznego,
przyspieszenie chwilowe wyraŜa stosunek nieskończenie małego przyrostu funkcji
do odpowiadającego mu przyrostu argumentu. Oznacza to, Ŝe przyspieszenie jest
pochodną prędkości po czasie. Prędkość jest z kolei pochodną połoŜenia po czasie.
dr
dt
V
=
ds
dt
V
=
- Wartość prędkości jest pochodną drogi po czasie.
dE
dt
P
=
- Moc jest pochodną energii po czasie.
dp
dt
F
=
- Siła jest pochodną pędu po czasie.
dq
dt
I
=
- NatęŜenie prądu jest pochodną ładunku po czasie.
dV
dr
E
=
-
- NatęŜenie pola elektrycznego jest pochodną potencjału po połoŜeniu.
Ogólnie, jeśli wielkość fizyczna
Z
jest określona jako stosunek nieskończenie
małego przyrostu wielkości
Y
do nieskończenie małego przyrostu wielkości
X
, przy
czym
Y
jest funkcją
X
i przyrosty te sobie odpowiadają, to oznacza, Ŝe
Z
jest
pochodną
Y
po
X
.
dY
dX
Z
=
Przypuśćmy, Ŝe w pewnym ruchu prędkość punktu zmienia się w czasie zgodnie z
zaleŜnością:
V = A t
2
- B t
, gdzie
A = 1 m/s
3
i
B = 2 m/
s
2
.
PoniewaŜ przyspieszenie jest pochodną prędkości po czasie, to musi ono wyraŜać
się wzorem:
a = 2A t - B
Znając zatem zaleŜność
V (t)
moŜna ustalić zaleŜność
a (t)
.
4
CAŁKA NIEOZNACZONA
Całkowanie jest operacją matematyczną, która prowadzi do określenia funkcji na
podstawie znajomości jej pochodnej.
Dane są np. funkcje:
2
F x
(
)
=
x
+
C
F x
(
)
=
x
+
C
F x
(
)
=
sin
x
+
C
Pochodnymi tych funkcji są:
1
F' x
F' x
(
)
=
f x
(
)
=
F' x
(
)
=
f x
(
)
=
2
x
(
)
=
f x
(
)
=
cos
x
2
x
Całkami tych ostatnich są:
1
∫∫∫∫
2
∫∫∫∫
∫∫∫∫
2
xdx
=
x
+
C
x
dx
=
x
+
C
cos
xdx
=
sin
x
+
C
2
Symbol
dx
wskazuje argument poszukiwanej funkcji. PoniewaŜ stała obecna w
funkcji nie zostawia śladu w funkcji pochodnej, stąd całka nieoznaczona zawiera
zawsze stałą całkowania (
C
).
Znaleźć całkę nieoznaczoną oznacza znaleźć funkcję, której pochodna jest pod
znakiem całki. Stałą całkowania moŜna znaleźć w oparciu o dodatkowe dane.
∫∫∫∫
f x dx
(
)
=
F x
(
)
Û
F' x
(
)
=
f x
(
)
Korzystając z definicji całki moŜna określić całki funkcji elementarnych, jak równieŜ
udowodnić podstawowe twierdzenia dotyczące całek
1
∫∫∫∫
sin
axdx
=
-
cos
ax
+
C
∫∫∫∫
∫∫∫∫
adx
=
ax
+
C
a
n
+
1
1
x
n
∫∫∫∫
∫∫∫∫
n
cos
axdx
=
sin
ax
+
C
x dx
=
+
C
a
+
1
dx
x
x
x
e dx
=
e
+
C
∫∫∫∫
=
ln
x
+
C
[
]
∫∫∫∫
=
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
+
∫∫∫∫
af x dx
(
)
a
f x dx
(
)
k x
(
)
+
g x
(
)
dx
=
k x dx
(
)
g x dx
(
)
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Linki

: 2013 05 08 Pod. Arkusz, MATEMATYKA, GEOGEBRA Matematyka Rozwiazania Zadan Maturalnych, Matura Podstawowa, Rok 2013 05 08 Pod

: 3. arkusz Jezyk polski poziom p rok 2009 , MATURA, język polski